procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  ShowMessage('Button 1 clicked');
end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
  Pt: TPoint;
begin
  {Позволим кнопке Button2 перерисоваться}
  Application.ProcessMessages;
  {Найдем координаты центра button 1}
  Pt.x := Button1.Left + (Button1.Width div 2);
  Pt.y := Button1.Top + (Button1.Height div 2);
  {Преобразуем Pt к координатам экрана}
  Pt := ClientToScreen(Pt);
  {Преобразуем Pt к "mickeys" (аболютным координатам курсора мышки}
  Pt.x := Round(Pt.x * (65535 / Screen.Width));
  Pt.y := Round(Pt.y * (65535 / Screen.Height));
  {Переместим курсор мыши}
  Mouse_Event(MOUSEEVENTF_ABSOLUTE or MOUSEEVENTF_MOVE, Pt.x, Pt.y, 0, 0);
  {Имитируем нажатие левой кнопки мыши}
  Mouse_Event(MOUSEEVENTF_ABSOLUTE or MOUSEEVENTF_LEFTDOWN, Pt.x, Pt.y, 0, 0);
  {Имитируем отпускание левой кнопки мыши}
  Mouse_Event(MOUSEEVENTF_ABSOLUTE or MOUSEEVENTF_LEFTUP, Pt.x, Pt.y, 0, 0);
end;