{Так можно заставить сразу, после появления на экране
PopupMenu, автоматически выбирать произвольный пункт.}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  I, N: Integer;
begin
  N := 3; {номер по порядку}
  for I := 1 to N do
    PostMessage(Self.Handle, WM_KeyDown, VK_DOWN, 0);
end;